METHODS · 从直观解释到可复核步骤

从体积分数到两相流：PLIC-VOF 详细方法

这份说明从“一个格子里有多少液体”开始，依次说明训练数据、网络通量、曲率、表面张力、压力求解和实验验证。公式采用 Overleaf 方法快照中的定义；重训与补充实验另行标明。阅读时可以先看图和例子，再看推导。

先记住四个角色。体积分数记录液体有多少；通量决定液体移到哪里；曲率帮助计算表面张力；压力投影让速度满足不可压缩条件。网络只负责其中的局部通量与曲率，完整流体运动仍由数值求解器推进。

1. 整体路线：我们究竟计算什么？

VOF 是 Volume of Fluid，即体积分数法。传统 PLIC（分片线性界面重构）通常先在混合单元内重建一条直线，再计算穿过网格面的相体积。本项目的神经路径直接从局部体积分数预测通量和曲率；运行时不重新构建 PLIC 界面，也不启用几何锐化。PLIC-VOF 是项目名称，不表示神经路径仍然逐格执行传统 PLIC。

图1｜实线框是实际方法组成。通量与曲率共享网络权重，但宿主分开调用；压力后端在 CPU 上运行。示意图概括依赖关系，具体更新时间见第8节。

本方法限定为二维、均匀正方形网格。每格边长为 $h$ ，面积为 $h^{2}$ 。二维的“体积”应理解为面积；能量按单位出平面厚度解释。

符号	意思	在程序里的位置或单位
$f$ 、 $g = 1 - f$	液相、气相体积分数	无量纲，单元中心； $f = 0$ 全气， $f = 1$ 全液
$u$ 、 $p$	速度、压力	法向速度在网格面，压力在中心，MAC 交错网格
$Δ t$ 、 $δ t$	流体时间步、VOF 子步	子步用于使输运满足其步长约束
$C$	面速度扫过的单元宽度比例	$C = \| u_{f} \| δ t / h$ ，本地公式要求 $0 \leq C \leq 1$
$F$ 、 $Φ$	无符号、带符号相通量	均按单元面积归一化；实际相面积为 $F h^{2}$
$R_{θ}$	流出相占供体相总量的比例	$F_{r a w} = f_{c} R_{θ}$ ，不是扫掠带的平均液相率
$q_{κ}$ 、 $κ$	无量纲曲率、物理曲率	$q_{κ} = κ h$ ； $κ$ 单位为长度的倒数
$q$	压力线性系统中的缩放未知量	$q = p Δ t / h$ ，与 $q_{κ}$ 是两个不同量

2. 物理方程：网络没有替代哪些工作？

不可压缩条件、液相输运和动量方程分别为：

\nabla \cdot u = 0, \partial_{t} f + \nabla \cdot (f u) = 0 .

(1)

ρ (\partial_{t} u + u \cdot \nabla u) = - \nabla p + \nabla \cdot [μ (\nabla u + \nabla u^{T})] + ρ a + s_{σ} .

(2)

第一式要求一个单元流入和流出的总体积平衡。第二式追踪液体。动量方程右侧依次是压力、黏性、重力等体力与表面张力。网络的两个输出分别参与液相输运和表面张力计算。

物性采用一个平滑副本，降低物性跳跃直接进入离散计算时的突变：

{\bar{f}}_{i} = \frac{1}{2} f_{i} + \frac{1}{8} (f_{E} + f_{W} + f_{N} + f_{S}), ρ_{i} = ρ_{g} + (ρ_{l} - ρ_{g}) {\bar{f}}_{i}, μ_{i} = μ_{g} + (μ_{l} - μ_{g}) {\bar{f}}_{i} .

(3)

边界缺失邻居用中心值补齐。这里的平滑只用于密度和动力黏度；保存的 $f$ 和网络输入仍使用原始体积分数。材料平滑、网络输入和界面锐化是不同操作。

3. 训练数据：标签怎样得到？

训练使用解析合成几何。它教网络回答局部几何问题，不使用整段真实流体轨迹作为监督，也没有端到端求解 Navier–Stokes 的训练损失。

生成局部几何。课程记录使用局部三次函数界面 $y = H (x)$ ，变化位置、斜率与弯曲程度；另有原始合成样本回放。
积分得到9个输入。把几何与九个单元分别求交并积分，获得原始 $3 \times 3$ 体积分数。
积分得到通量标签。在向右流出的标准方向，取中心格右侧宽为 $C h$ 的扫掠带，计算带内相面积 $A_{s w e p t}$ 。
计算曲率标签。找到中心格内距离其中心最近的界面点，在这个点计算解析曲率。它不是格心外推值，也不是整段界面的弧长平均。
做有标签的增广。相互补把 $f$ 换成 $1 - f$ 并相应改变曲率符号；转置样本使用解析横向通量，不能简单把原方向通量标签原样搬过来。
按几何分组切分。同一基础几何的相关样本放在同一组，以免相似样本跨入训练与验证；按验证指标挑选 checkpoint。

f_{i j} = \frac{1}{h^{2}} \int_{Ω_{i j}} 1_{p h a s e} d A, F^{*} = \frac{A_{s w e p t}}{h^{2}}, R^{*} = \frac{F^{*}}{f_{c}} .

(4)

这里 $1_{p h a s e}$ 是相内为1、相外为0的指示函数； $R^{*}$ 用于有相含量的训练样本。比如 $f_{c} = 0.6$ ，扫掠带带走单元面积的0.12，则 $F^{*} = 0.12$ 、 $R^{*} = 0.2$ ：供体内20%的液体流出。

对于前景位于图像函数下方的约定：

κ^{*} = - \frac{H^{″} (x_{*})}{[1 + H^{'} (x_{*})^{2}]^{3 / 2}}, q_{κ}^{*} = h κ^{*} .

(5)

这里 $x_{*}$ 对应上述最近界面点。相互补时解析曲率反号。九个面积平均数不能唯一确定格内界面，因此学习的是特定训练分布下的局部近似；不能声称任意几何都可由九个数精确恢复。

4. 共享网络：九个数如何变成两个答案？

图2｜九宫格是原始体积分数。先把流出方向变为“向右”，再应用共享骨干。64个正分箱描述相量在扫掠方向上的分布，单独的线性头给出无量纲曲率。示意色块不代表某次实验预测。

最终模型的结构是 $9 \to 256 \to 256 \to 128$ ，每个隐藏层后使用 GELU 激活；两个线性输出头分别为 $128 \to 64$ 和 $128 \to 1$ ，共109,633个可训练标量。输入没有坐标，也没有统计标准化。Courant 数 $C$ 不进入共享骨干，而在后续分箱积分时使用。

推理先把供体模板旋转或反射到向右流出方向。模型还对原模板 $S$ 和上下行交换模板 $R S$ 分别计算并平均。这一上下反射属于推理时结构性约束；相互补、90度旋转关系主要靠损失鼓励，不能说它们在推理时严格满足。

5. 通量：先保证正性，再保证装得下

5.1 64个正分箱的直观意思

把中心格沿流出方向分为64条。每条有一个严格为正的权重。 $C$ 增大时，扫过更多条带，累计带走的相量便不会减少。

m_{j} (S) = \frac{1}{2} \sum_{T \in {S, R S}} [softplus (z_{j} (T)) + 10^{- 6}], j = 0, \dots, 63 .

(6)

w_{j} (C) = clip (64 C - j, 0, 1), R_{θ} (S, C) = \frac{\sum_{j = 0}^{63} w_{j} (C) m_{j} (S)}{\sum_{j = 0}^{63} m_{j} (S)}, F_{r a w} = f_{c} R_{θ} .

(7)

Softplus 把任意实数变成正数； $10^{- 6}$ 保证最小正量。 $w_{j}$ 表示第 $j$ 个条带被扫过多少，未扫过为0，完整扫过为1，部分扫过则线性取值。条带编号从流出面开始理解。分母对64条的总权重归一化，所以 $C = 0$ 时 $R = 0$ ， $C = 1$ 时 $R = 1$ 。

5.2 为什么还要做容量投影？

扫过的条带面积只有 $C h^{2}$ ；即使供体有很多液体，也不能把比条带更大的液体面积塞进去。另一侧留下的液体，也要装得进未扫过面积 $(1 - C) h^{2}$ 。

L = max (0, f_{c} + C - 1), U = min (f_{c}, C), F_{θ} = clip (F_{r a w}, L, U) .

(8)

0 \leq F_{θ} \leq f_{c}, F_{θ} \leq C, 0 \leq f_{c} - F_{θ} \leq 1 - C .

(9)

举例： $f_{c} = 0.6$ 、 $C = 0.3$ ，假设网络给 $R = 0.7$ ，则原始通量为0.42。容量上限是0.3，下限是0，所以最终通量为0.3；留下0.3的液体，未扫过部分容量为0.7。若 $f_{c} = 0.9$ 、 $C = 0.3$ ，下限为0.2：至少要带走0.2，才能让剩余液体装进0.7的空间。

动手试一试：拖动扫掠宽度

这是教学用正分箱分布，不是训练模型输出。保持模板对应的中心含量固定，观察通量随 C 的变化。

中心液相率 f_c Courant 数 C

固定 $S$ 时，每个正分箱的累计量单调不减；容量上下界也单调不减，所以投影后的通量对 $C$ 仍单调不减。这保证的是合格模板上的局部通量性质，不是完整两方向推进的全局最大值原理，也不是对九个输入分数的整体单调性。

5.3 近纯单元怎样处理？

中心体积分数	实际分支	需要记住的区别
$0.002 \leq f_{c} \leq 0.998$	调用网络并施加容量限制	两个端点都允许推理；邻居不按此门限截断
$f_{c} < 0.002$	采用空相通量	没有调用几何重构作为后备
$f_{c} > 0.998$	采用满相通量，大小为 $C$	将近满单元当作满相计算通量

这个门控不把已保存的 $f$ 自动改为0或1。例如 $f = 0.001$ 被跳过推理，仍可能作为低含量尾迹留在场中。上述局部容量定理也不直接适用于把近满单元视为满相的旁路。

6. 输运更新：每个面只记一笔账

相邻两个格子使用同一个面通量：从左格扣除多少，就给右格加上多少。带符号通量为 $Φ_{f} = sign (u_{f}) F_{θ}$ 。

在每个 VOF 子步开始先固定压缩指示量 $χ_{i} = 1 [f_{i} \geq 1 / 2]$ 。对方向 $d$ 的扫掠为：

f_{i}^{(d)} = f_{i}^{i n} - (Φ_{i + \frac{1}{2} e_{d}} - Φ_{i - \frac{1}{2} e_{d}}) + χ_{i} \frac{δ t}{h} (u_{i + \frac{1}{2} e_{d}} - u_{i - \frac{1}{2} e_{d}}) .

(10)

用扫掠开始时的场提取模板，决定各面的供体、流出方向和 $C$ 。
每个面计算一次带符号通量，供相邻单元共享。
计算上式中的通量差和方向压缩项。
每次扫掠后做端点清理：低于 $10^{- 10}$ 设为0，高于 $1 - 10^{- 10}$ 设为1，有限越界值也被清理；非有限数报错。
执行另一方向；相邻子步轮换 x–y 和 y–x 顺序。一个子步内两个方向使用同一份固定的 $χ_{i}$ 。

清理之前，内部面通量在全局求和时抵消；若面速度严格离散无散，两个方向的压缩项也相互抵消。这解释了条件性的守恒结构。实际清理可能改变相面积，所以最终必须测量面积漂移，不能从“输出都在0到1之间”推出“没有发生裁剪且精确守恒”。 $10^{- 10}$ 清理阈值和0.002推理门限相差很多，作用也不同。

7. 曲率与表面张力：弯曲如何改变速度？

图3｜圆越小，曲率越大。曲率头预测 κh，宿主除以 h 恢复物理单位；每个面的力使用两侧中更接近混合状态的那个单元曲率。图中气泡和网格位置为教学示意。

q_{κ} = κ h, κ = \frac{q_{κ}}{h} .

(11)

例如 $h = 0.01$ 、网络输出 $q_{κ} = 0.04$ ，则物理曲率为4；对于半径0.25的二维圆，曲率也是 $1 / R = 4$ 。网格加密时同一个物理圆的 $κ$ 应保持4，但 $q_{κ}$ 随 $h$ 减小。这说明无量纲输出本身不等于网格一致性，仍要对固定物理形状重新积分并验证。

曲率头是无界线性输出，不保证预测正负号或大小一定正确。它也采用上下反射平均，不依赖 $C$ ；调用共同模型接口时给 $C = 0$ 。

相的约定必须一致。动力学保存的是液相 $f$ ，但曲率使用 $g = 1 - f$ 。模型对“所表示相的凸区域”取正曲率，因此宿主实际得到凸气相为正的曲率，不再额外翻转符号。对不在 $[0.002, 0.998]$ 的中心气相率，曲率设零，没有邻居延拓。

(s_{σ})_{f} = σ κ_{s e l} \frac{g_{+} - g_{-}}{h} .

(12)

其中 $σ$ 是表面张力系数； $κ_{s e l}$ 从两侧 $g$ 更接近0.5的单元选取。距离相等时选 plus 侧，NaN 曲率按0处理。这里没有对两侧曲率做算术平均。门控和这个二选一规则都有离散切换，局部曲率的微小变化可能通过选择与力反馈影响长时动力学。

输运模板边界采用最近单元延拓；曲率先同样提取，再在场景提供时用显式 ghost 分数覆盖域外项。不能把所有算例都描述成周期边界或完全相同的 halo。

8. 一个完整流体时间步，先后顺序是什么？

下面描述常规推进路径；启动阶段还有专门的投影和黏性处理。曲率缓存更新时刻也属于方法的一部分。

更新物性：由当前 $f$ 计算 $\bar{f}$ 、密度和黏度。
准备动量输运速度：动量对流启用时，先预测并投影输运速度，用于动量对流。
计算力与黏性：施加重力、已缓存曲率对应的表面力以及宿主原有黏性离散，形成待投影速度。
主压力投影：求解压力并修正面速度，使其接近离散无散。
追赶 VOF 时钟：必要时执行多个输运子步；每个子步按第6节做两方向扫掠。
刷新曲率：在这些 VOF 子步之后用更新的气相分数计算曲率，供后续力计算使用。
保存实际时钟和诊断：记录面积、速度、压力、求解残差和各阶段耗时。

因此，一个流体时间步可能包含不止一次压力求解。共享骨干也不意味着通量和曲率在整个求解器中只做一次联合前向。更换 AMGCL 与 compact 后端时，以上宿主流程和固定网络保持一致。

9. 压力投影：怎样让流体不被凭空压缩？

9.1 从速度散度形成线性系统

把未投影面速度记为 $u^{*}$ 。相邻单元间系数为两侧密度倒数的均值：

w_{i j} = \frac{1}{2} (ρ_{i}^{- 1} + ρ_{j}^{- 1}), q_{i} = p_{i} \frac{Δ t}{h}, (A q)_{i} = \sum_{j \in N (i)} w_{i j} (q_{i} - q_{j}) = b_{i}, b_{i} = - \sum_{f \in \partial i} s_{i f} u_{f}^{*} .

(13)

u_{f}^{n + 1} = u_{f}^{*} - w_{i j} (q_{j} - q_{i}), p_{i} = q_{i} \frac{h}{Δ t} .

(14)

s_{i f}

是相对单元的向外方向符号。右端 $b$

描述当前净流出，压力差修正各个面速度。由于采用了缩放未知量 $q$

，这里不再显式写一个 $h^{- 2}$

。没有外部邻居的边不添加系数；法向边界速度在投影前后归零。

9.2 为什么固定一个压力值？

压力加一个常数不改变速度，因此矩阵有常数零空间。compact 固定 $q_{0} = 0$ ：把第0行和列耦合都移除、对角设1、 $b_{0} = 0$ ，但保留邻居原有对角系数。正密度和连通网格下，这得到对称正定系统，适合 PCG。

x^{T} A x = \sum_{{i, j}} w_{i j} (x_{i} - x_{j})^{2} .

(15)

每条无向边只算一次。固定常数自由度后，非零自由向量具有正能量。原 AMGCL 路径只替换第0行，保留第0列的其他条目；完整存储矩阵因此不是对称的，尽管固定分量为零时对应相同的自由方程。两种存储矩阵不能称作逐项相同。

9.3 三个数组与精确粗化

图4｜把相邻细格归为一个粗格。延拓把粗值复制回去，限制对细值取平均。粗算子必须由 RAP 得到，不能随意用另一套近似系数替换。

每层用三个 double 系数数组存储：对角 $d$ ，以及正 x、正 y 方向的负非对角系数 $e^{x}, e^{y}$ 。反向连接复用邻居数组中的条目，不为每条边重复存储一般 CSR 索引。工作向量和最粗层直接求解仍需额外内存。

(A x)_{i} = d_{i} x_{i} + e_{i}^{x} x_{i + e_{x}} + e_{i - e_{x}}^{x} x_{i - e_{x}} + e_{i}^{y} x_{i + e_{y}} + e_{i - e_{y}}^{y} x_{i - e_{y}} .

(16)

每个偶数维度独立减半，形成 $2 \times 2$ 、 $2 \times 1$ 或 $1 \times 2$ 聚合；同一层的聚合细格数 $m$ 相同。设 $P$ 为复制延拓，则：

P_{i I} = 1 [i \in I], R = \frac{1}{m} P^{T}, A_{c} = R A_{f} P .

(17)

d_{I}^{c} = \frac{1}{m} (\sum_{i \in I} d_{i}^{f} + 2 \sum_{{i, j} \subset I} e_{i j}^{f}) .

(18)

相邻粗格的边系数是穿过共同边界的细边系数之和再除以 $m$ ；对角中的内部负边项抵消聚合内部连接。全粗化的1/4和半粗化的1/2都要保留。粗层不再次固定一个点，以免破坏 $R A P$ 恒等式。最细层预条件器还限制到第0分量为零的自由子空间。

9.4 多重网格怎样帮助 PCG？

先用直觉理解：细网格上的局部交替误差比较容易消除，跨越整个区域的缓慢误差却很难靠局部迭代消除。把问题搬到粗网格后，原来的大范围误差变成小范围问题；修正粗解再传回细网格，可以减少外层求解次数。

SOR 是依次更新单元压力的松弛迭代；red–black 把棋盘格的红格、黑格分组更新。PCG 是预条件共轭梯度：由多重网格给出近似修正，再通过外层迭代消除剩余误差。对称正定意味着矩阵对称、非零自由向量对应的二次型为正，是这里采用 PCG 的数学条件。

每个周期先做两遍 red–black SOR 平滑，再做粗网格修正，最后反序 black–red 平滑两遍；松弛参数为1.5。默认 W2 周期递归修正两次，第二次从第一次的粗解继续，粗修正倍率为2。未知数不超过64或无法继续减半时，用 Eigen SimplicialLDLT 精确解最粗系统。

若对称正定子周期在能量尺度中的特征值 $λ$ 属于 $(0, 2)$ ，两次连续残差修正对应：

B_{2} = 2 B - B A B, λ (B_{2} A) = λ (2 - λ) \in (0, 1] .

(19)

这个条件配合正反序平滑和精确粗解，用于默认 W2 的构造；不能推广为任意修正倍率都稳定。实现限制 V-cycle 倍率不超过1，W2不超过2，并用独立小矩阵检验预条件器对称正定性。

PCG 从零压力开始，每次投影重建层级。默认最大500次迭代，相对容差 $10^{- 8}$ ，绝对容差0；接受条件是重新计算的真实残差：

‖ b - A q ‖_{2} \leq max (a t o l, r t o l ‖ b ‖_{2}) .

(20)

递推残差看似达标但真实残差不达标时，替换残差并重启搜索方向；零右端返回零解，不收敛则报告失败。场与系数为 double，点积用 long double 累积。当前 compact 压力求解在 CPU 上，没有已完成的 GPU 压力结果；大奇数尺寸可能过早进入昂贵的粗层直接求解。

10. 损失、课程与部署：训练具体怎么做？

10.1 每一项损失在纠正什么？

下面将代码里的均方误差写成期望形式。 $R^{*}$ 、 $q_{κ}^{*}$ 是解析标签； $Q$ 是90度旋转；期望表示训练小批次平均。

L_{R} = E (R_{θ} - R^{*})^{2}, L_{κ} = E (q_{κ} - q_{κ}^{*})^{2} .

(21)

L_{p h a s e} = E [f_{c} R_{θ} (S, C) + (1 - f_{c}) R_{θ} (1 - S, C) - C]^{2} .

(22)

L_{κ \pm} = E [q_{κ} (S) + q_{κ} (1 - S)]^{2}, L_{r o t} = E [q_{κ} (S) - q_{κ} (Q S)]^{2} .

(23)

L_{s t r i p} = E {[\frac{f_{c} (R_{θ} - R^{*})}{max (C, 10^{- 6})}]}^{2}, L_{p l a n e} = E [q_{κ} (S_{p l a n e})^{2}] .

(24)

前两项学习标签。相互补通量项要求两相扫过面积之和接近扫掠带面积 $C$ ；两项曲率软约束要求换相反号、旋转不变。条带项相当于监督扫掠带平均相含量，避免小 $C$ 时信号被普通通量误差削弱。平面项提供确切零曲率监督；所用平行薄层构造不附加通量标签，因为单元平均数不能唯一决定层内排列。

末阶段保留的加权关系为：

L = L_{R} + L_{s t r i p} + 1000 L_{κ} + 1000 L_{p l a n e} + 0.1 (L_{p h a s e} + L_{κ \pm} + L_{r o t}) .

(25)

这些软项影响训练，不是推理时硬投影。容量限制是宿主中的独立操作，不能把损失写成对完整两相流的严格守恒证明。

10.2 完整课程记录与身份区别

Overleaf 记录的历史冻结模型名为 edges64_v4_weak；它的完整末阶段数据和日志未全部归档。此次补充使用可追踪的独立重建模型及另外两组完整课程，不把新模型冒充历史原权重的精确复现。下面的13阶段表来自本地保留课程；bootstrap 为60 epoch、初始骨干128–128–64，后在 widening 阶段扩展为最终256–256–128。

阶段	数据组	步数	起始学习率	平滑样本比例	主要设置
v1	balanced	6,000	0.0001	90%	基础平滑几何
v2	weak	30,000	0.0002	98%	弱曲率样本
v3	weak	30,000	0.0001	98%	弱曲率重采样
v4_wide	weak	20,000	5e-05	98%	扩大骨干
v8	weak	30,000	0.0001	98%	提高曲率权重
v11	capillary	30,000	2e-05	98%	相互补配对
v12	capillary	30,000	1e-05	96%	转置配对，曲率权重1000
v13_flux	capillary	20,000	0.0002	50%	只训通量
face_flux	capillary	15,000	0.0002	80%	增加扫掠带监督
edges	edges	20,000	2e-05	98%	扩展近纯覆盖
planar	edges	15,000	2e-05	95%	增加平面零曲率监督
flux_replay	edges	15,000	0.0002	50%	只训通量并回放
weak	edges	15,000	1e-05	95%	最终弱曲率细化

末阶段从 flux_replay 接续，15,000个 AdamW 步，batch 1024，学习率从 $10^{- 5}$ 降到 $10^{- 7}$ ，平滑几何样本占95%，其余回放旧分布。历史末阶段记录种子为20261020；两次新增完整课程种子为202611051、202611052，只改种子及输出路径，沿用归档数据、损失与各阶段设置。

弱曲率重采样使用既有权重 $[s / (s + | q_{κ}^{*} |)]^{p}$ ，它改变抽样频率而非损失公式。控制末阶段取 $s = 0.002, p = 3$ ；新增探索只改变已有软项权重或该采样尺度，没有增加新的推理原理。

10.3 导出与数值精度

按各阶段训练验证规则保存 checkpoint，记录 SHA-256 和配置；最终测试集不参与选 checkpoint。
导出 ONNX，输入输出均为 float32。Softplus 内部采用稳定 float64 计算后转回 float32，不能据此把整个网络称作双精度。
CUDA 关闭 TF32，检查浮点算子的设备放置，防止静默退回 CPU；宿主流场和压力系数仍是 double。
比较原生 CUDA 与 Torch 的曲率输出；本轮物理场最大无量纲输出差约 $3.54 \times 10^{- 7}$ ，低于所设 $10^{- 5}$ 检查阈值。
通量、曲率加载同一个模型的独立会话；完整记录模型、执行文件和环境，不能只用分支名标识实验。

11. 实验一步步怎样验证？

11.1 先分清比较对象

比较	固定什么	回答什么
同神经模型 + AMGCL / compact	模型、宿主积分和神经设备	更换压力后端后的成本与轨迹影响
神经路径 / 独立 Aphros	初值尽量对齐，保留各自实际算法	两种完整部署的观测差异，不能单独归因网络
同课程不同种子	归档数据、结构与课程	初始化、抽样及验证分组共同变化的敏感性
原参数 / 训练探索	同一接续点及训练设置，仅改指定参数	原方法内部能否获得可重复的改善

Aphros 参考为几何 VOF、Weymouth 输运、粒子曲率，二维使用一条7粒子链、长度4h、最多20次迭代；此构建使用 Youngs 法向，没有启用高度函数法向修正。邻近线段收集使内部有效原始分数依赖可达7×7，不是与神经3×3完全等信息的对照。其压力是原生无预条件共轭梯度，阈值 $10^{- 3}$ 基于原生范数，并非 SimLiquid 的相对残差；配置中的 tol=1e-4 是流体外层参数。

11.2 从局部到动力学的验证顺序

压力独立验证：独立稀疏组装、模板乘法、固定压力自由度、每层 $R A P$ 、小系统预条件器对称正定；原归档含312项性质检查、55个线性案例及捕获系统重放。
解析局部验证：旧199场作为开发回归集；新封存1,800个基础几何模板，再生成5,400个相关旋转样本，旋转不算独立样本。新模板与五个归档训练数组按 float32 模板精确去重，未发现重复；这不等于严格分布外泛化证明。
固定物理形状加密：64个物理几何场覆盖64、128、256、512网格，逐网格重新积分，区分物理曲率误差与单纯除以 $h$ 的单位放大。
单独输运：关闭压力、曲率、重力、黏性和锐化，给定解析面速度；记录 MAE、面积漂移、混合格数、门控外残留和实际推理工作。
受控物理参考：静滴检查二维 Laplace 压差；毛细波比较线性理论正幅值；气泡比较 MooNMD 数值基准的质心、升速和圆度。
网格与时间步分离：毛细波先做3网格×2时间步×2方法共12项，最细网格发现步长敏感后只追加一次减半的两方法对照，共14项，所有结果保留。
训练稳定性：两次完整重训，加上重建基线共3个模型，形成21项物理观测，避免只选最好种子。
成本：补充输运矩阵为2场景×3网格×2 CFL×2方法×3重复=72条。停止本轮其他计算后逐项运行，绑定同两个逻辑 CPU、轮换方法顺序；神经路径额外使用RTX5090。
探索与冻结：只在旧开发集筛选已有软权重0.1/1/10和采样尺度0.0005/0.008；封存集只评分，不反过来选模型。

11.3 误差指标怎样读？

{M A E}_{f} = \frac{1}{N_{c}} \sum_{i} | f_{i} - f_{i}^{*} |, V = h^{2} \sum_{i} w_{i}, x_{c} = \frac{\sum_{i} w_{i} x_{i}}{\sum_{i} w_{i}}, D_{V} = \frac{V (t) - V (0)}{V (0)} .

(26)

气泡取 $w = 1 - f$ ，其他相面积按所研究相定义。MAE 衡量全场分数误差， $D_{V}$ 衡量总面积变化，二者不能互相替代。平移可在全时段用解析圆盘单元平均真值；反转涡旋只在初始与返回时刻具有本轮使用的解析圆盘参考，过程中的另一数值解不是真值。

{R M S E}_{κ} = \sqrt{\frac{1}{| I |} \sum_{i \in I} (κ_{i} - κ_{i}^{*})^{2}}, E_{κ} = \sqrt{\frac{\sum_{i \in I} (κ_{i} - κ_{i}^{*})^{2}}{\sum_{i \in I} (κ_{i}^{*})^{2}}} .

(27)

平面真曲率为0，不能报告除以零的相对误差，只报告绝对误差。比较不同估计器时同时保存共同支持单元评分与全部混合格评分，防止掩码差异造成误导。

静滴二维理论值为 $Δ p = σ / R$ ，不是三维球的 $2 σ / R$ 。本设定 $σ = 1, R = 0.25$ ，目标压差4；数值值用 $f > 0.99$ 与 $f < 0.01$ 两区平均压力作差，另看寄生速度。

毛细波从列积分得到波面，再提取基频：

η_{i} = 1 - h \sum_{j} f_{i j}, M (t) = \frac{2 {mean}_{i} [η_{i} e^{- 2 π i x_{i}}]}{a_{0} sinc (h)}, a_{0} = 0.01, sinc (z) = \frac{\sin (π z)}{π z} .

(28)

在论文给定的波长及坐标约定下， $| M |$ 是归一化正幅值，sinc 修正单元平均。参考表只给正幅值，没有相位真值；不能据此声称已测相位误差。补充报告中的正幅值 RMS 需按各表注明的绝对或归一化口径阅读。

气泡镜像半域后，用 $2 \sqrt{π V} / P$ 计算圆度，并报告质心与相加权升速。MooNMD 是高精度数值基准，不是解析解。气泡补充表同时保留原 PLIC 周长口径和0.5等值线口径，不通过替换指标删掉不利趋势。

计时分别记录推进与整个进程：后者包含启动、模型加载、输出。三次重复报告中位数和范围，不当作置信区间。CPU 几何与 CPU+GPU 神经路径的比较代表实际资源组合；不能把压力替换的收益挪作神经界面的等误差加速。

11.4 原论文动力学算例如何初始化？

以下参数属于 Overleaf 快照中的原动力学矩阵；新增长时毛细波的14项配置单独列在补充报告，不能与原矩阵混作一次计算。

算例	区域、初值与物性	网格、时间步与终点
静态液滴	$[0, 1]^{2}$ ，中心(0.5,0.5)，半径0.25；两相密度1000、黏度1，表面张力1，重力0	64²、128²；Δt=0.001，T=0.5
上升气泡	原生半域 $[0, 2] \times [0, 0.5]$ ；气相半圆中心(0.5,0)、半径0.25；液/气密度1000/100、黏度10/1，σ=24.5，重力(-0.98,0)	128×32、256×64；自适应，初始步长1e−6；请求T=3
毛细波	$[0, 2] \times [- 1, 1]$ ；液体在 $y = 0.01 \cos (2 π x)$ 上方；两相密度1、黏度0.0182571749236，σ=1，无重力	64²、128²；Δt=τ/20、τ/80；T=120τ，τ=1/53.508815629
落滴入池	移到 $[0, 1]^{2}$ 表述：液池y≤0.35，液滴中心(0.5,0.55)、半径0.1；水–空气参数，σ=0.0728	64²、128²；Δt=0.001、0.0005；T=0.6；短时测速另到0.1
静水	移位坐标中液体y≤0.53；水–空气参数，σ=0	64²、128²；Δt=0.0005、0.00025；T=0.1
溃坝	移位坐标中液体占x≤0.3且y≤0.6的矩形，面积0.18；水–空气参数，σ=0.0728	64²、128²；Δt=0.0005、0.00025；T=0.6

水–空气参数为液/气密度998.2/1.204 kg/m³、动力黏度0.001002/0.00001825 Pa·s、重力(0,−9.80665) m/s²。原坐标中的落滴、静水与溃坝域为 $[- 0.5, 0.5]^{2}$ ；表中平移只是方便描述，未修改计算域。

所有算例从零速度、零保存压力开始，静滴与静水也不是从解析平衡压力启动。静滴和气泡用线性化 level-set 单元切割初始化；落滴共享宿主导出的初始分数；静水、溃坝用精确平面或矩形交叠；波面沿水平用256中点积分。不能把它们都说成精确圆盘面积积分。

气泡半域镜像映射为 $(x_{H}, y_{H}) = (0.5 \pm y_{s i m}, x_{s i m})$ 。除波面外，原生x边界无滑移、y边界不可穿透自由滑移；波面主隐式黏性项采用全自由滑移，但继承的转置项保留x墙处理。Aphros 在气泡、落滴、静水与溃坝保留原生锐化（CFL 0.1），神经路径全部关闭锐化；这些差别限制跨代码归因。自适应轨迹按实际物理时钟对齐，不按帧号假设时间相等。

12. 创新点怎样准确表述？

这里的“创新点”指本项目可主张的方法贡献与组合设计。神经 VOF 通量、神经曲率、聚合多重网格等已有研究基础；本页不作“全球首次”的优先权结论。

可表述的贡献	具体做法与意义	依据及适用边界
受约束的联合局部通量–曲率算子	同一3×3表示产生64个正分箱和 κh；用容量投影补齐正分箱本身缺少的扫掠容量界	可证明合格模板上通量对 C 单调、端点正确且满足局部容量；不能推出完整格式收敛
代数一致的紧凑 CPU 压力替换	三系数数组、对称固定压力自由度、精确 RAP、对称 W2 与真实残差 PCG 共同实现	组件性质检查与配对计算支持；属于二维均匀网格实现，不等于复现完整自适应三维框架
能分离收益来源的耦合验证	同模型只换压力、解析局部测试、物理参考、种子与 h/Δt 分离、等误差目标成本	揭示压力加速和神经界面精度并非同一结论；保留负结果是可信度贡献，不宣称新物理定律

建议论文贡献段这样写：本文构建了一个由共享局部表示驱动的通量–曲率模型，以正分箱累计与容量投影给出明确的局部通量约束；实现并独立验证了保持代数粗化一致性的紧凑 CPU 压力后端；通过组件验证、物理参考与配对成本评估，区分压力替换收益和神经界面仍存在的一致性、精度及训练敏感性限制。

不能写成已完成的创新：任意网格一致收敛、完整算法严格最大值原理、端到端能量守恒、GPU压力求解、三维拓扑通用性、全面优于传统方法、或恢复了缺失的历史训练记录。这些没有对应的当前证据。

13. 实验告诉我们还缺什么？

图5｜实际补充实验图，不是方法示意。横纵轴和方法图例按原报告保留；它展示不同网格与时间步下的表现，不能从单个有利点拟合整体收敛阶。完整数据见补充页。

三训练实例在128网格毛细波的正幅值 RMS 相差约6.2倍；256网格再次减半时间步后，神经终态 VOF 差仍约 $6.18 \times 10^{- 4}$ 。这说明需要优先解决训练稳健性和细网格一致性，平均局部误差相近也不保证长时动力学接近。

原采样尺度改为0.008时，旧开发集综合曲率分改善约4.38%，未达到本轮预先规定的至少5%改善门槛；投影通量 MAE 还必须不恶化超过5%。这是实用筛选规则，不是统计显著性检验。所有分支均未通过综合门槛，默认模型保留。

下一步可研究：固定物理几何的加密一致性训练、对称性和门控切换的受控设计、多种子稳健性、以及误差目标下的成本。它们是待检验方向；如果改变当前原理、门限或力的选择规则，应作为新方法分支重新对照，而不能回写成现有方法已经实现。

14. 来源、版本与复核入口

本页核对了 Overleaf 本地方法快照 02-neural-method.tex、03-pressure.tex、04-experiments.tex、appendix.tex、引言与讨论，以及实际 train.py、train_smooth.py、保留课程、补充实验脚本和完成报告。网页不修改 Overleaf 原稿。

历史论文 checkpoint SHA-256 为 9492e940778efb85e12ae502118d58adb6262c5dbd298c978804ee88c5923a9b，对应 ONNX 为 6ba6aa53931dcb8286686b914e0901a70037e0521959f2fd3918cd452f5bf113。本轮重建基线身份另见证据索引，不能只因架构、名称相近就当成同一权重。网页发布指标和方法图，本机归档另保留原始场、checkpoint、日志与命令。